Aferidor: metodologia estatística e física para análise de loterias de números

Um estudo sobre a Lotofácil e a Quina da CAIXA, com 10.896 concursos, e sobre por que um desvio estatisticamente significativo pode não ser explorável.

Resumo

Analisamos o histórico completo de dois jogos de loteria brasileiros — Lotofácil (3.779 concursos, 2003–2026) e Quina (7.117 concursos, 1994–2026) — com um registro pré-especificado de 14 hipóteses, correção de multiplicidade, harness de poder obrigatório e backtest com detecção automática de vazamento temporal.

Três resultados principais:

1. A Lotofácil rejeita uniformidade marginal (χ² corrigido = 58,87, g.l. 24, p ≈ 1,5 × 10⁻⁴), e essa rejeição sobrevive à correção de Benjamini–Hochberg sobre 12 hipóteses (q = 0,0011). A Quina não sobrevive: p = 0,0426 isolado, q = 0,51 na família.
2. O desvio não é mecanicamente plausível. Medindo o ganho que converte assimetria de massa em desvio de probabilidade num simulador de globo verificado (g₀ = −0,153 ± 0,030), reproduzir o desvio observado exigiria uma diferença de 6,6 g numa bola de 66 g — 66 vezes a resolução de uma balança de precisão de 0,1 g.
3. O desvio não é explorável. Num backtest walk-forward de 2.779 concursos, a estratégia de números frequentes acerta mais fora da amostra (+0,043 dezena por aposta, z = +1,86), e ainda assim os intervalos de confiança do retorno se sobrepõem aos da estratégia aleatória.

Um resultado metodológico acompanha os três: a correção de amostragem sem reposição no qui-quadrado — fator (N−1)/(N−m) — inverte a conclusão do teste principal. Sem ela, a Lotofácil teria p = 0,43 e o estudo concluiria o oposto da verdade.

Palavras-chave: loterias, qui-quadrado, amostragem sem reposição, multiplicidade, submodularidade, bootstrap BCa, equivariância, pré-registro.

1. Introdução

1.1 O problema

Loterias de números são, por especificação, dispositivos de geração equiprovável. Verificar empiricamente se um dispositivo real honra essa especificação é um problema estatístico clássico, e é onde a maior parte das análises públicas erra de três formas:

1. Usam a distribuição nula errada. O teste qui-quadrado multinomial pressupõe amostragem com reposição; um sorteio extrai m bolas sem reposição.
2. Reportam p-valores crus de múltiplas hipóteses. Rodar 14 testes e destacar o menor p é p-hacking por omissão.
3. Confundem significância com explorabilidade. Um desvio real pode existir e não produzir retorno, e a distinção exige um backtest com controle de vazamento.

1.2 A tese

Detectamos um desvio estatisticamente significativo. Testamos se ele é explorável. Não conseguimos mostrar que seja — e mostramos por quê.

Essa formulação é deliberadamente mais fraca que "não é explorável". A diferença importa: o que medimos é a sobreposição dos intervalos de confiança, não a ausência de efeito.

1.3 Restrições autoimpostas

O estudo opera sob quatro regras que valem para todo resultado publicado:

• R1. Todo resultado nulo vem acompanhado do efeito mínimo detectável (MDE).
• R2. Todo p-valor de painel multi-hipótese vem com q de Benjamini–Hochberg.
• R3. Toda garantia combinatória vem com a probabilidade de ativação.
• R4. Toda afirmação de "não há efeito" é acompanhada da medição de poder que a sustenta.

2. Fontes de dados e integridade

2.1 Duas fontes independentes

A validação cruzada entre as duas produziu zero divergências nas dezenas sorteadas.

2.2 Armadilhas de parsing (documentadas)

O XLSX da CAIXA quebra três pressupostos comuns de leitores de planilha:

1. <x:dimension ref> declara uma única linha. Leitores em modo read-only retornam 1 linha.
2. As linhas de dados não têm o atributo r. Apenas o cabeçalho tem. Qualquer parser que resolva célula por endereço encontra vazio.
3. A ordem dos índices em sharedStrings.xml não é a ordem das colunas.

A solução é um parser posicional, cuja segurança repousa numa invariante verificável:

∀ linha ℓ:  |células(ℓ)| = |cabeçalho|

Verificada em 10.896 de 10.896 linhas. A violação lança exceção em vez de degradar silenciosamente.

2.3 Ordem de extração: uma correção epistêmica

Uma versão anterior deste estudo afirmava que a ordem de extração não existe. A afirmação era verdadeira para o XLSX (zero dos 10.896 concursos vêm fora de ordem crescente) e foi generalizada indevidamente para a instituição. A API da mesma instituição expõe dezenasSorteadasOrdemSorteio, presente em 30 de 30 concursos amostrados entre 2003 e 2026, dos quais 29 não estão ordenados.

Lição metodológica: antes de declarar que um dado não existe, verifique as outras fontes da mesma instituição.

2.4 Limitação de taxa e determinismo de ingestão

A API limita taxa. Medição: 8 requisições concorrentes produzem HTTP 429 em ~70% delas; sequencial com 150 ms de intervalo passa 54/54. A ingestão grava NDJSON com ordem de chaves fixa e casas decimais fixas, de modo que reexecutar sem --forcar produz zero requisições e zero bytes de diferença — a definição operacional de idempotência.

2.5 Geocodificação

682 municípios canônicos foram extraídos de 910 grafias brutas; 669 foram geocodificados, cobrindo 99,68% dos sorteios. Três armadilhas mediram-se caras:

• A chave canônica não serve para buscar. Ela remove pontuação para agrupar, e SANTA BARBARA D OESTE não existe na base de busca — Santa Bárbara d'Oeste existe.
• Uma variante de grafia não basta. Consultas múltiplas com união de resultados antes da escolha.
• O primeiro resultado costuma estar errado. JI-PARANÁ devolve um único resultado: o Aeroporto José Coleto.

Uma quarta armadilha merece registro separado porque custou duas tentativas erradas: altitude e identidade são perguntas independentes. A base devolve o sentinela 9999 m para Ilhéus/BA, cidade litorânea. Penalizar candidatos por altitude implausível fez o algoritmo escolher um homônimo minúsculo em vez da cidade real de 155 mil habitantes. A solução: a altitude não entra na pontuação de identidade; uma altitude implausível vira null na saída.

3. Fundamentos combinatórios

Notação: universo de N bolas, m sorteadas por concurso, k marcadas por aposta, n concursos observados. Escrevemos q = m/N.

3.1 Probabilidade hipergeométrica

A probabilidade de acertar exatamente h dezenas com uma aposta de k números:

P(H = h) = C(m,h) · C(N−m, k−h) / C(N,k)

Implementada em aritmética bigint exata, sem logaritmos ou funções gama, para os tamanhos em jogo (C(25,15) = 3.268.760; C(80,5) = 24.040.016).

3.2 Momentos do número de acertos

Proposição 1. Para uma aposta fixa de k números,

E[H] = k·q                Var(H) = k·q·(1−q)·(N−k)/(N−1)

Prova. Seja Y_i a indicadora de que a bola i da aposta foi sorteada. E[Y_i] = q, logo E[H] = Σ E[Y_i] = kq. Para a variância, Var(Y_i) = q(1−q) e, como exatamente m bolas são sorteadas de N,

Cov(Y_i, Y_j) = −q(1−q)/(N−1)   para i ≠ j

Somando sobre os k² pares:

Var(H) = k·q(1−q) + k(k−1)·(−q(1−q)/(N−1)) = k·q(1−q)·(N−k)/(N−1)   ∎

Na Lotofácil (N=25, m=15, k=15): E[H] = 9, Var(H) = 1,5.

3.3 Distribuição exata da soma

A soma das dezenas sorteadas tem PMF exata obtida por programação dinâmica sobre a contagem de subconjuntos:

dp[j][s] = número de subconjuntos de tamanho j que somam s

com a recorrência aplicada em ordem decrescente de j para impedir reutilização de valores. As contagens permanecem exatas em ponto flutuante de dupla precisão porque C(25,15) e C(80,5) estão bem abaixo de 2⁵³.

Verificação: a PMF calculada reproduz os momentos fechados até a 8ª casa decimal — média 195 e variância 325 na Lotofácil.

4. A correção de amostragem sem reposição

Esta é a correção central do estudo, e sua omissão inverte a conclusão.

4.1 O problema

O teste qui-quadrado de aderência multinomial usa a estatística

X²_ingênuo = Σ_i (O_i − E)² / E,     E = n·m/N

e a compara com χ²_{N−1}. A nula multinomial pressupõe reposição. Num sorteio, Σ_i Y_i = m é fixo por construção, e as indicadores são negativamente correlacionadas.

4.2 Teorema da correção

Teorema 1. Sob H₀ (uniformidade), com n concursos independentes,

X²_corrigido = X²_ingênuo · (N−1)/(N−m)  ~  χ²_{N−1}   (assintoticamente)

Prova. Seja O_i a contagem da bola i em n concursos independentes. Por concurso, Var(Y_i) = q(1−q) e Cov(Y_i, Y_j) = −q(1−q)/(N−1) para i ≠ j. Somando os n concursos, a matriz de covariância de O é

Cov(O) = n·q(1−q)·(N/(N−1))·(I − J/N)

onde J é a matriz de uns. De fato, o elemento diagonal vale n·q(1−q)·(N/(N−1))·(1 − 1/N) = n·q(1−q), e o fora da diagonal vale −n·q(1−q)/(N−1), como requerido.

O vetor de desvios O − E1 vive no subespaço ortogonal a 1, pois Σ_i O_i = nm é fixo. Nesse subespaço, I − J/N age como a identidade, de modo que Cov(O) restrita a ele é o escalar σ² = n·q(1−q)·N/(N−1) vezes a identidade. A forma quadrática contra a pseudo-inversa de Moore–Penrose é, portanto,

Σ_i (O_i − E)² / σ²  ~  χ²_{N−1}

Como E = nq e

σ² = n·q(1−q)·N/(N−1) = E·(1−q)·N/(N−1) = E·(N−m)/(N−1)

segue

Σ_i (O_i − E)²/σ² = [Σ_i (O_i − E)²/E] · (N−1)/(N−m) = X²_ingênuo · (N−1)/(N−m)   ∎

4.3 Verificação por Monte Carlo

O Teorema 1 prevê que X²_ingênuo = X²_corrigido · (N−m)/(N−1), e como X²_corrigido ~ χ²_{N−1} tem média N−1 e desvio √(2(N−1)), a distribuição nula do teste ingênuo tem

média  = (N−1) / fator
desvio = √(2(N−1)) / fator        com fator = (N−1)/(N−m)

Na Lotofácil, com N−1 = 24 e fator 2,4: média 10,000 e desvio 2,887.

Gerando 20.000 históricos verdadeiramente uniformes de 3.779 concursos:

A nula real do teste ingênuo está centrada em 10, não em 24 como g.l. = 24 sugeriria.

4.4 Verificação cruzada independente

O mesmo fator aparece em qualquer estatística de segundo momento. Para a soma das dezenas:

Com reposição:   Var(S) = m(N²−1)/12
Sem reposição:   Var(S) = m(N+1)(N−m)/12
Razão:           (N−1)/(N−m)

Na Lotofácil: 780 / 325 = 2,4 — exatamente o fator do Teorema 1. Isso mostra que a correção não é um artifício do qui-quadrado, mas a mesma dependência vista de outro ângulo.

4.5 Consequência

Sem a correção, a conclusão sobre a Lotofácil seria "indistinguível de aleatório".

4.6 Quando não aplicar o fator

Aplicar o fator indiscriminadamente é tão errado quanto omiti-lo. A regra:

Aplique o fator quando a estatística agregar indicadoras de bolas do mesmo concurso com variância calculada como se fossem independentes.

O caso contraintuitivo. Intervalos entre aparições (gaps) por bola não precisam de correção: a falta de reposição age dentro do concurso, não entre concursos. Para uma bola isolada, cada concurso é Bernoulli(q) independente no tempo, e a distribuição geométrica é exata. A dependência só reaparece na agregação entre bolas.

5. O registro de hipóteses

5.1 Pré-especificação e congelamento

O conjunto de 14 hipóteses é congelado por um hash canônico SHA-256 que cobre, para cada teste: identificador, família, hipótese nula, estatística, método, política de correção, parâmetros e redundâncias declaradas.

O hash não cobre a implementação. Corrigir um defeito não deve invalidar o pré-registro; reescrever a hipótese nula, sim. Essa distinção é verificada por um teste que substitui a implementação inteira e exige que o hash não se mova.

Hash do registro atual: 37438cdda9d017913a7b98a11a411ad9…

5.2 Ausência estrutural de filtro

A função que monta o painel não aceita parâmetro de filtro — propriedade verificada por asserção sobre a aridade da função. Ocultar uma linha exige deletar o teste do registro, o que altera o hash, o que obriga a justificar no histórico de versão.

5.3 As 14 hipóteses

5.4 Redundância declarada

T13 (entropia) é assintoticamente equivalente a T01: a estatística G de razão de verossimilhança e o χ² de Pearson convergem para a mesma distribuição. Medido: G corrigido = 58,898 contra χ² corrigido = 58,866.

T11 (Markov) reembala a mesma informação de T12 (repetições).

Ambos permanecem no painel — a leitura importa — e ficam fora da família de Benjamini–Hochberg. Contá-los inflaria o denominador e afrouxaria a correção sem acrescentar informação.

5.5 Nula que preserva as margens

T03 e T04 exigiram uma nula diferente. Com nula uniforme, ambos rejeitavam no piso do Monte Carlo — e por herança: uma bola que sai demais leva consigo os pares dela e a linha dela no volante. Os três testes mediam o mesmo sinal três vezes e entravam na família de BH como hipóteses independentes.

A pergunta com conteúdo não é "os pares são uniformes?" (não são, por herança), mas "além do desvio marginal, existe estrutura de par?". A nula que responde isso preserva as margens, e o algoritmo padrão para matrizes binárias com margens fixas é o curveball (Strona et al., 2014): sorteiam-se dois concursos, olham-se as bolas exclusivas de cada um, e troca-se um par. A troca preserva o tamanho de cada sorteio e a frequência de cada bola.

Efeito medido na Lotofácil:

Duas rejeições falsas eliminadas.

E uma hipótese descartada por vacuidade. A primeira formulação de T04 somava as bolas por linha do volante ao longo do histórico. Mas a contagem da linha 1 é, por definição, a soma das frequências das bolas 1 a 5 — função determinística das margens. Sob curveball a estatística é constante, e o teste devolvia p = 1 sempre, com nível-α medido de 0,000. Não era defeito de implementação; era uma pergunta sem conteúdo. T04 foi reformulado para a dispersão dentro do sorteio, que as margens não fixam.

6. Multiplicidade, poder e calibração

6.1 Benjamini–Hochberg

Com 12 hipóteses na família, controlamos a taxa de falsas descobertas pelo procedimento de Benjamini & Hochberg (1995): ordenados p₍₁₎ ≤ … ≤ p₍ₘ₎, rejeita-se até o maior i com p₍ᵢ₎ ≤ (i/m)·α, e os q-valores são obtidos pelo mínimo acumulado a partir do topo.

6.2 Resultados do painel

Lotofácil (n = 3.779, 1.999 réplicas):

Uma rejeição em doze. T10 rejeita isoladamente e não sobrevive à correção.

Quina (n = 7.117): zero rejeições. T01 tem p = 0,0426 isolado e q = 0,51 na família. O desvio marginal da Quina não sobrevive à multiplicidade.

6.3 O guardrail de nível-α e a metade que falta

Provar que um teste rejeita a 5% sob H₀ não prova nada sozinho: um teste que nunca rejeita passa nesse critério com folga. Por isso injetarEfeito é parte obrigatória do contrato de cada teste registrado, e cada um passa em quatro exigências:

1. Nível-α — a taxa de rejeição sob H₀ é compatível com 5%.
2. Poder — detecta um efeito injetado na força máxima.
3. Monotonicidade — o poder cresce com a intensidade do efeito.
4. Reprodutibilidade — a mesma semente devolve o mesmo número.

6.4 A aritmética da banda

A banda [0,042; 0,058] é ±0,008. O erro-padrão binomial de uma taxa de 0,05 com R réplicas é √(0,05·0,95/R). Para que ±0,008 seja ~3σ,

0,008 ≥ 3·√(0,05·0,95/R)  ⟹  R ≥ 11.875

Um teste com R = 600 e banda apertada daria alarme falso em cerca de um quarto das execuções. Daí duas faixas:

• Rápida (sempre ligada, R = 80): exige que o intervalo de Wilson a 99% contenha 0,05. Wilson e não Wald — com p̂ próximo de 0,05 e R pequeno, o intervalo de Wald é assimetricamente errado e pode sair de [0,1].
• Estrita (R = 12.000, sob demanda): a banda apertada, onde ±0,008 é ~4σ. Passa nos seis testes de nula analítica ou exata em 71 s. Os oito de nula por Monte Carlo levariam de 27 a 46 minutos cada — e a faixa estrita declara essa lacuna em vez de subentender cobertura total.

6.5 Três defeitos que só o guardrail revelou

Nenhum destes era detectável por tipagem ou revisão de código:

1. Dois testes rejeitavam 100% das vezes sob H₀. O gerador de históricos com arrasto temporal usava o tamanho do conjunto como deslocamento do Fisher–Yates parcial, e o conjunto cresce dentro do laço: a mesma posição era sorteada repetidamente e as repetições colapsavam num Set. Os sorteios saíam com menos de m bolas.
2. Um teste era vacuamente verdadeiro (§5.5).
3. A estatística D de Kolmogorov–Smirnov estava errada, duas vezes.

6.6 O erro que piora com mais dados

O terceiro defeito merece detalhe porque é o tipo mais traiçoeiro.

Primeira versão: percorrer as observações uma a uma comparando i/n com F₀(x_i). Errado com empates — e a soma das dezenas tem aos montes, pois o suporte tem ~150 valores e o histórico tem milhares de sorteios. A empírica dá um salto de k/n em cada valor distinto, não k saltos de 1/n. Taxa de rejeição medida sob H₀: 0,087.

Segunda versão: agrupar empates, mas comparar F₀(v) com F_n(v⁻) — dois pontos diferentes. Como F₀ também salta em v, esse termo carregava a altura inteira do átomo (até 0,022) para dentro de D. Com D verdadeiro da ordem de 1/√n, o viés cresce com n:

Versão correta: quando o suporte é inteiro, ambas as funções são constantes entre inteiros, logo avaliar |F_n(s) − F₀(s)| em todo s do suporte é exato:

D = max_{s ∈ suporte} |F_n(s) − F₀(s)|

Com D correto, a taxa de rejeição pelo p assintótico cai para 0,025–0,030 — conservadora, como a teoria prevê para dados discretos, e estável em n.

Por isso T14 usa Monte Carlo. A série de Kolmogorov supõe F₀ contínua; para dados discretos a distribuição de D depende de F₀. O guardrail de nível-α reprova o p assintótico sem que ninguém precise argumentar.

7. Modelagem de popularidade e valor esperado condicional

7.1 O único grau de liberdade real

Nenhuma escolha de dezenas altera a probabilidade de ganhar. A escolha altera quantas pessoas dividem o prêmio quando você ganha, porque apostadores humanos não escolhem uniformemente.

7.2 Modelo quase-Poisson

Seja W_top o número de ganhadores da faixa máxima num concurso, N̂ o volume estimado de apostas e p_top a probabilidade hipergeométrica da faixa. Ajustamos

W_top ~ quase-Poisson(μ)      log μ = log(N̂ · p_top) + β₀ + x'β

por mínimos quadrados reponderados iterativamente (IRLS). O offset tem coeficiente fixo em 1, de modo que λ = exp(β₀ + x'β) é diretamente o multiplicador de popularidade.

Quase-Poisson e não Poisson. Com heterogeneidade de comportamento ao longo de décadas, a dispersão de Pearson excede 1; o Poisson puro subestimaria os erros-padrão e produziria significância inventada (Wedderburn, 1974).

7.3 Três decisões de estimação, todas com consequência medida

O offset é por receita, não pela faixa mais baixa. A faixa mais baixa também sofre o efeito aniversário — correlação de +0,35 entre a quantidade de números ≤ 31 e os ganhadores do duque na Quina. Usá-la como proxy de volume subtrai parte do próprio efeito a medir, atenuando a amplitude de λ de 2,13× para 1,29×.

**O pseudo-R² compara com o nulo de intercepto, não com o offset sozinho.** O offset tem escala arbitrária (o preço da aposta mudou várias vezes em 23 anos) e o intercepto absorve o descasamento. Comparar com o offset isolado dá pseudo-R² de 0,69 mesmo com features embaralhadas — um diagnóstico cego ao que deveria medir.

A convergência é por variação relativa do desvio. Com μ ~ 10⁶ e dispersão ~35.000, um critério absoluto em β nunca é atingido embora o ajuste esteja estável na sétima iteração.

7.4 Efeito medido

Na Quina, o efeito aniversário tem amplitude de 2,13× entre os formatos mais e menos populares, com ρ = +0,290 e p < 5 × 10⁻⁵.

7.5 Valor esperado condicional

Proposição 2. Se K ~ Poisson(m) é o número de outros ganhadores de uma faixa, então

E[1/(1+K)] = (1 − e^{−m}) / m

Prova.

E[1/(1+K)] = Σ_{k≥0} (1/(k+1)) · e^{−m} m^k / k!
           = (e^{−m}/m) · Σ_{k≥0} m^{k+1}/(k+1)!
           = (e^{−m}/m) · (e^m − 1)
           = (1 − e^{−m})/m   ∎

Logo, o prêmio esperado condicional a acertar a faixa t:

E[prêmio_t | acerto t] = Pool_t · (1 − e^{−m_b})/m_b,    m_b = N̂ · p_t · λ_b

7.6 Teto de ganho

O ganho é limitado, e o limite é calculável. Avaliando a expressão acima nos extremos de λ observados no histórico obtém-se a razão máxima contra um bilhete neutro. Medido: 1,57× na Lotofácil e 1,21× na Quina.

Ressalva registrada. O gerador varre milhares de candidatos e encontra formatos mais extremos do que qualquer um do histórico de treino. Para esses, o prêmio esperado é extrapolação do modelo, não medição — e a interface conta e declara quantas apostas de uma lista estão fora da faixa de ajuste.

8. Otimização submodular de portfólio

8.1 Correlação entre bilhetes: forma fechada

Teorema 2. Sejam b₁ e b₂ dois bilhetes fixos de k números com sobreposição o = |b₁ ∩ b₂|, e H_i = |b_i ∩ D|. Então

ρ(H₁, H₂) = (o·N − k²) / (k·(N−k))

Prova. Com q = m/N, Var(1_x) = q(1−q) e Cov(1_x, 1_y) = −q(1−q)/(N−1) para x ≠ y. Somando sobre os k² pares (x,y) com x ∈ b₁, y ∈ b₂, dos quais o são coincidentes:

Cov(H₁,H₂) = o·q(1−q) − (k²−o)·q(1−q)/(N−1)
           = q(1−q)·[o(N−1) − k² + o]/(N−1)
           = q(1−q)·(oN − k²)/(N−1)

Pela Proposição 1, Var(H_i) = k·q(1−q)(N−k)/(N−1). Dividindo:

ρ = (oN − k²)/(k(N−k))   ∎

Observação. m desaparece: a correlação não depende de quantas bolas são sorteadas.

Verificação por simulação (200.000 sorteios por ponto, Lotofácil):

8.2 O ponto neutro

Corolário. ρ = 0 quando o = k²/N. Na Lotofácil, exatamente 9.

Isso invalida a heurística usual de "penalizar sobreposição": dois bilhetes com 9 números em comum são estatisticamente independentes. Uma penalidade linear na sobreposição cobra por pares independentes e cobra pouco pelo salto de 12 para 13, que é onde a correlação de fato pesa.

8.3 O ganho real da diversificação

Proposição 3. Para B bilhetes com correlação média ρ̄,

Var(H̄) = Var(H)/B · [1 + (B−1)·ρ̄]

Prova. Direta de Var(ΣH_i/B) = (1/B²)[B·Var(H) + B(B−1)·Cov].∎

Portanto: sobreposição média abaixo de k²/N implica ρ̄ < 0, implica variância menor que a de bilhetes independentes. Não é mais probabilidade de ganhar — é menos dispersão em torno da mesma média.

8.4 Objetivo submodular

Definimos, para um sorteio D e um bilhete b, o valor esperado valor(b,D) = Pool_h · E[1/(1+K)] com h = |b ∩ D|.

O objetivo é

F(S) = g(S) + I(S)
g(S) = Σ_{b∈S} E[valor(b)]                        (analítico, exato)
I(S) = κ · E_D[ u(Σ_b v_b) − Σ_b u(v_b) ]         (Monte Carlo, ≤ 0)

com u côncava crescente e u(0) = 0.

Teorema 3. F é submodular.

Prova. Para cada D, R(S,D) = Σ_{b∈S} v_b é modular e não-negativa. Composição de função côncava não-decrescente com função modular não-negativa é submodular; a esperança preserva submodularidade. Logo E_D[u(R)] é submodular. Σ_b E[u(v_b)] é modular. Submodular menos modular é submodular. g é modular. Modular mais submodular é submodular. ∎

Propriedade-chave. O termo dentro de I vale zero quando R = 0: uma aposta sozinha, ou um sorteio em que nenhuma outra do portfólio foi premiada, não paga penalidade. Ele só fica negativo quando duas apostas são premiadas no mesmo sorteio — precisamente o evento que a diversificação existe para evitar.

Com u = identidade (aversão ao risco γ = 0), I ≡ 0 exatamente em ponto flutuante, e o guloso volta a ser "os B de maior valor esperado".

8.5 Garantia do guloso

Teorema 4 (Nemhauser, Wolsey & Fisher, 1978). Para F monótona submodular com F(∅) = 0, o algoritmo guloso com B passos atinge F(S_guloso) ≥ (1 − 1/e)·F(S*) ≈ 0,632·F(S*).

A implementação usa CELF (Leskovec et al., 2007): a submodularidade garante que o ganho marginal nunca cresce, logo o ganho da rodada anterior é limite superior válido e a maioria dos candidatos não precisa ser reavaliada.

Verificação: CELF devolve conjunto idêntico ao guloso ingênuo, com menos avaliações. A igualdade exige desempate total — ganho decrescente, índice crescente — sem o qual as duas implementações divergem de forma intermitente.

8.6 Duas formulações que falharam

Registradas porque a terceira só se justifica contra elas.

Tentativa 1 — estimar F inteira por Monte Carlo. Com γ = 0 o custo da diversificação deu 81 centavos, e deve dar zero: sem concavidade não há diversificação. O guloso ranqueava por uma estimativa ruidosa do valor esperado, e o ruído aparecia como "preço da diversificação".

Tentativa 2 — separar g exato da correção de concavidade. Consertou o zero e revelou o defeito de fundo: com M = 20.000 sorteios (convergido), o objetivo pagava 37,6 centavos e a sobreposição média subia, de 9,106 para 9,258. A razão: u(R+v) − u(R) − v é grande sempre que v é grande, mesmo com uma aposta só e R = 0. A utilidade não comprava menos concentração; comprava menos assimetria — preferindo bilhetes populares porque pagam prêmios menores. Numa loteria isso é o oposto do que o apostador quer.

Efeito da formulação correta (Lotofácil, modelo real, B = 12):

9. Fechamentos com garantia provada

9.1 Definição

Um fechamento (covering design) C(v, k, t, m) é uma família de blocos de k números escolhidos de um conjunto de v, tal que para todo sorteio que contenha t dos v números, ao menos um bloco acerta m.

9.2 Prova exaustiva, nunca amostrada

A garantia é verificada por enumeração de todos os C(v,t) cenários, com blocos representados como máscaras de bits e a enumeração de subconjuntos feita pelo truque de Gosper (Knuth, TAOCP 4A). Não há amostragem: uma garantia provada por Monte Carlo não é uma garantia.

O limite inferior de Schönheim (1964) é reportado ao lado do número de blocos encontrado, para que a distância ao ótimo teórico fique visível.

9.3 A probabilidade de ativação

Regra R3. Toda garantia vem com

P(ativação) = P(|D ∩ pool| ≥ t) = Σ_{j≥t} C(v,j)·C(N−v, m−j) / C(N,m)

"Garanto 13 acertos se 14 das suas 18 saírem" soa forte até se ver que a condição ocorre em uma fração ínfima dos concursos. O número vai ao lado da garantia, em destaque.

9.4 O que fechamentos fazem e não fazem

Reduzem variância e aumentam a frequência de prêmios pequenos. Não aumentam o retorno esperado: por linearidade da esperança, E[retorno] é proporcional ao número de apostas, independentemente de como elas se organizam.

10. Backtest sem vazamento temporal

10.1 A semântica correta é por índice, não por campo

O erro conceitual a evitar: "o campo X é sempre pós-sorteio" é falso. A arrecadação do concurso k é informação pré-sorteio em relação a k+1 — é justamente o volume que se quer usar para prever.

A implementação não filtra campos: a visão histórica não contém os registros a partir do corte. Um vazamento deixa de ser leitura indevida e passa a ser índice fora do intervalo, que lança exceção.

10.2 O canário de vazamento

O backtest roda duas vezes: uma sobre o histórico verdadeiro e outra com os registros posteriores ao corte envenenados, exigindo portfólios bit-idênticos. Dois modos, porque há duas formas de falha:

• Destrutivo — o registro futuro é um proxy que lança ao ter qualquer campo pós-sorteio lido, nomeando o campo. Pega "li o futuro".
• Silencioso — valores plausíveis mas diferentes (fator √2, dezenas deslocadas). Pega "li o futuro e o número mudou", que é o caso que importa.

10.3 A calibração: um canário que nunca canta é inútil

A suíte inclui uma estratégia deliberadamente trapaceira, que lê o sorteio alvo e aposta nele, e um oráculo de volume que lê a receita realizada. O teste exige que as estratégias honestas passem e que as duas trapaças sejam detectadas. É o análogo exato do guardrail de nível-α: provar metade não prova nada.

Uma descoberta do canário: sem modelo de popularidade, o volume estimado N̂ não alcança a saída. Com λ ≡ 1, N̂ escala o valor esperado de todos os candidatos pelo mesmo fator, o ranking não muda e o portfólio sai idêntico. O canário fica quieto — corretamente: um acesso que não muda nada não é vazamento.

Outra: a chave de cache do modelo usa floor. Com round, ela apontaria para uma janela do futuro em metade dos passos, sem que nenhum tipo mudasse.

10.4 Duas sutilezas que mudam os números

A sua aposta dilui o rateio. O valor publicado é Pool/W. Se você ganhasse junto, seriam W+1 ganhadores:

seu prêmio = prizeCents · W/(W+1)

Irrelevante com W = 300.000; erro de 50% com W = 1, que é a faixa que decide o retorno.

W = 0 quebra tudo. Quando uma faixa acumula, tanto o rateio quanto o número de ganhadores são zero. Um simulador ingênuo pontua um acerto solitário de 15 dezenas como R$ 0,00. Regra: se W = 0 na faixa máxima, o prêmio é o acumulado integral.

E uma terceira, que só a medição revelou: W = 0 nem sempre é acúmulo. A Quina tem 4.084 concursos com zero ganhadores no duque, e nenhum acumulou — a faixa de 2 acertos só passou a ser paga em 2016. A distinção é computável sem tabela de datas: se a faixa existisse, os ganhadores esperados seriam N̂·p; para o duque isso dá dezenas de milhares, e zero ganhadores com dezenas de milhares esperados é ausência de faixa, não acúmulo. Restam 7 registros em 10.896 genuinamente desconhecidos — contados e reportados, não embutidos no retorno.

10.5 Janelas aninhadas não são evidências independentes

Proposição 4. Para estimativas sobre prefixos aninhados de tamanhos n₁ > n₂,

ρ = √(n₂/n₁)

Prova. Com médias de contribuições i.i.d., Cov(X̄₁, X̄₂) = σ²/n₁ e Var(X̄_i) = σ²/n_i. Logo ρ = (σ²/n₁)/√(σ²/n₁ · σ²/n₂) = √(n₂/n₁). O σ² cancela. ∎

Confirmado: origem 1.000 contra 2.000 → 0,800; contra 1.500 → 0,906; contra 3.000 → 0,529. Uma janela de 2.000 concursos contém inteira a de 1.000: 80% da "segunda evidência" é a primeira de novo.

Consequências operacionais:

1. A decomposição em blocos disjuntos é a apresentação primária. A aninhada esconde a concentração (todo prefixo longo contém a era boa); a disjunta mostra em qual bloco o efeito mora.
2. Uma curva de sensibilidade contínua em vez de seis pontos escolhidos.
3. Um p familiar por maxT, que absorve a escolha da janela simulando a nula com a estrutura de correlação correta.

10.6 Intervalo de confiança do retorno: BCa

O retorno é dominado por poucos eventos raros e a distribuição é fortemente assimétrica. O intervalo percentil simples não serve; usamos bootstrap BCa (Efron, 1987), que corrige viés (z₀, da fração de réplicas abaixo do observado) e assimetria (a, por jackknife).

Cobertura medida com o retorno verdadeiro conhecido por construção (200 ensaios por regime):

10.7 O alarme óbvio está invertido

A quebra em 44,5% não é defeito do BCa: o bootstrap reamostra o que está na amostra, e quando a média verdadeira depende de um evento que não ocorreu na janela, nenhuma reamostragem o traz de volta.

A primeira tentativa de diagnóstico usou a concentração do retorno como alarme. Medindo condicionalmente, no regime que quebra:

sensibilidade (avisou | não cobriu) =  1,0%
falso alarme  (avisou | cobriu)     = 64,9%

Concentração alta significa que a janela pegou o evento raro: o IC fica largo e cobre. Concentração baixa significa que ela não pegou — e é aí que o IC fica estreito e errado. O alarme correto é o oposto do intuitivo, e nenhuma estatística da própria amostra consegue vê-lo, porque a informação que falta está fora dela.

O instrumento correto compara o retorno realizado com o retorno esperado analiticamente pelos pools — informação que existe, é exata, e não depende de a janela ter tido sorte.

10.8 Resultados do backtest

Lotofácil, origem pré-registrada no índice 1.000, uma aposta por concurso, 2.779 concursos, custo total R$ 9.726,50:

A linha aleatória valida o aparelho inteiro: 8,996761 contra 9,000000 exatos previstos pela hipergeométrica, em 2.779 concursos.

Contraste pareado quente − fria: +0,09968 dezena por concurso, z = 2,377, p = 0,017. Contraste quente − aleatória: z = 1,447, p = 0,148.

Sensibilidade e janela:

Blocos disjuntos (z por bloco): −0,961 · +1,147 · +2,263 · +1,268. Os sinais discordam, o que indica efeito concentrado em parte da série, não distribuído.

10.9 Por que o retorno observado não descreve o longo prazo

Eventos por faixa em 2.779 apostas: 15 pontos → 0; 14 → 0; 13 → 2; 12 → 44; 11 → 265. As faixas de 14 e 15 pontos nunca saíram, e nem deveriam: a esperança é de 0,13 e 0,00085 evento.

Validação externa: a Lotofácil destina cerca de 43,35% da arrecadação a prêmios, o que implica ROI de aproximadamente −56,7% para o apostador. Nossa soma analítica sobre os pools, com a diluição de rateio embutida, dá −60,62%. A diferença de ~4 pontos é o que a divisão com co-ganhadores tira de quem aposta o formato típico.

11. Geofísica e efemérides

11.1 Gravidade local

Gravidade normal pela fórmula de Somigliana no elipsoide WGS84:

γ(φ) = γ_e · (1 + k·sen²φ) / √(1 − e²·sen²φ)

com γ_e = 9,7803253359 m/s², k = 0,00193185265241, e² = 0,00669437999013, seguida da correção de ar livre −3,086 × 10⁻⁶ · h (m).

Valor de referência do estudo: g = 9,786069 m/s² a −23,5614° e 814 m.

Amplitude entre os 669 locais geocodificados: de 9,778625 a 9,794849 m/s², ou 1.659 ppm.

⚠️ Uma correção registrada. Um valor anterior (9,786114) havia sido calculado com as constantes do GRS80 e altitude de 800 m. O datum das coordenadas GPS é o WGS84, e a altitude reportada pela geocodificação é 814 m; os 14 m movem a quarta casa decimal. O golden é agora reproduzido por teste a partir das coordenadas — antes, o mesmo número existia em dois lugares do código com valores diferentes e nenhum teste recalculava nenhum dos dois.

11.2 Densidade do ar

Densidade pela lei dos gases com correção de umidade:

ρ = p_d/(R_d·T) + p_v/(R_v·T)

com pressão de vapor de saturação por Tetens e viscosidade por Sutherland. A fórmula de Tetens é válida de 0 a 50 °C; a 100 °C ela diverge 0,9% do valor correto, e o limite está documentado no código em vez de ser descoberto em uso.

11.3 Horário de verão

O Brasil observou horário de verão até 2019. Medição da exposição:

Um em cada cinco sorteios ficaria uma hora deslocado com offset fixo — 15° de erro em azimute solar, maior que a largura de qualquer bin razoável.

Armadilha externa confirmada: a API meteorológica pública testada devolve utc_offset_seconds = −10800 para 15/01/2015 em America/Sao_Paulo, quando o offset real naquela data era −7200. Ela usa offset fixo e ignora o histórico de DST. A solução usa o tzdb do ICU via Intl, com resolução em duas passagens e verificação da leitura de volta.

11.4 Efemérides

Posição solar e estado lunar por algoritmos de baixa precisão de Meeus (1998), suficientes para a escala do problema (décimos de grau).

12. Simulação física do globo

12.1 O único caminho pelo qual a física poderia enviesar

Gravidade, Coriolis e densidade do ar variam entre locais — 1.659 ppm em gravidade, 16,8% em densidade do ar. Mas variação não é informação preditiva. O argumento é de simetria:

As bolas são idênticas por especificação. Qualquer campo que aja igualmente sobre objetos idênticos não pode preferir nenhum deles. Essas variáveis mudam a trajetória (caos determinístico), não a distribuição sobre números.

Portanto, o único caminho pelo qual a física poderia enviesar um sorteio é assimetria entre bolas. É esse caminho que a §12 percorre até o fim.

12.2 O Jacobiano colapsa num escalar

Teorema 5. Se a dinâmica é equivariante sob renomeação das bolas, então o Jacobiano J_ij = ∂p_i/∂δ_j é determinado por um único escalar:

J = a·I + b·(1 − I),    com  b = −a/(N−1)

Prova. A equivariância implica que J é invariante por conjugação com qualquer matriz de permutação, logo tem a forma a·I + b·(J − I), com apenas dois parâmetros. Como Σ_i p_i = m é constante, cada coluna de J soma zero: a + (N−1)b = 0, donde b = −a/(N−1). ∎

Corolário. A resposta de primeira ordem é

p(δ) = q·1 + g·(δ − δ̄·1) + O(‖δ‖²),    g = a·N/(N−1)

e o ajuste de N−1 parâmetros tem forma fechada: δ̂ é proporcional ao vetor de z-scores. Nenhum otimizador é necessário — e nenhum seria viável, pois exigiria 10⁷ a 10⁸ sorteios simulados.

Verificação numérica do Jacobiano por diferenças finitas no modelo de Bernoulli condicional:

12.3 O rótulo não pode ter existência física

O Teorema 5 depende da equivariância, que precisa ser verificada no código, não suposta. Duas violações foram encontradas e corrigidas:

Condição inicial. O posicionamento colocava as bolas em ordem de índice, com rejeição contra as já colocadas e recuo fixo após 220 tentativas: a bola 1 escolhia livremente e a bola 25 recebia as sobras. A condição inicial era função do rótulo. A correção troca rejeição por construção — sítios em grade determinística, atribuídos por sorteio uniforme sem reposição — tornando a permutabilidade um teorema em vez de uma medição.

Resolução de contatos. O laço for i, for j > i aplicava impulsos sequencialmente: num aglomerado, a bola de índice menor resolvia primeiro e as seguintes reagiam a um estado já modificado. A correção tem duas partes, e a segunda quase sempre é esquecida:

1. Jacobi. Todos os impulsos calculados a partir do mesmo estado, acumulados, aplicados de uma vez.
2. Ordem canônica de soma. Jacobi sozinho não basta: a soma em ponto flutuante não é associativa, então acumular em ordem de índice muda o último bit sob permutação — e num sistema caótico o último bit vira outra bola ejetada. Os contatos são ordenados por uma chave física (as posições das duas bolas, lexicograficamente), invariante por renomeação.

12.4 Os dois portões

P1 — uniformidade. Com δ = 0, a distribuição do rótulo ejetado deve ser indistinguível de uniforme.

Observação: aqui, e apenas aqui, a correção do Teorema 1 não se aplica. O fator é (N−1)/(N−m) e cada sorteio extrai m = 1 bola, logo o fator vale exatamente 1. A multinomial é a nula exata.

Medido: χ² = 29,51 (g.l. 24, p = 0,20) em 8.000 sorteios; MDE de 15,3% de viés relativo. Doze combinações de gravidade e densidade de ar reais (São Paulo, Brasília, Belém e cruzamentos), a 1.200 e 8.000 sorteios: todas passam.

P2 — equivariância. Permutar os rótulos deve permutar a saída identicamente, bit a bit. Aprovado nos três mecanismos de mistura. Esta é uma afirmação provado, não medido: nenhuma amostragem é necessária.

Regra de parada: sem P1 e P2 verdes, não prossiga. É o análogo exato do guardrail de nível-α — não se roda o teste antes de provar que ele está calibrado.

12.5 Nota metodológica: uma semente não calibra um portão

Um teste que afirma p ≥ 0,05 com uma única semente falha 5% das vezes por construção — é a definição do nível de significância, não instabilidade. Escrito assim, um dos portões reprovou de primeira (χ² = 45,0, p = 0,0058) e sugeriu viés onde não havia. Os portões passaram a contar rejeições entre várias sementes: com 8 sementes, "no máximo 2" tem 99,4% de passagem sob H₀ e ainda reprova um viés sistemático, que rejeitaria 8 de 8.

12.6 Medição do ganho

Desenho ±δ₀: metade dos rótulos recebe +δ₀ e a outra metade um valor negativo tal que Σδ = 0. Então

E[X₊] = n₊·q + g·n₊·δ₀   ⟹   g = (X̄₊ − n₊·q)/(n₊·δ₀)

Um contraste de grupo em vez de N estimativas ruidosas: toda a amostra trabalha para o mesmo número, e o custo cai de 10⁷ para ~10⁴ sorteios.

Um confundidor que só a medição revelou. A primeira versão variava massa e raio juntos, a densidade constante. Os dois efeitos têm sinais opostos e quase se cancelavam: g = 0,004 ± 0,016, o que quase virou a conclusão "a massa não importa". Medidos separadamente, com δ₀ = 0,2: massa −0,389 contra raio +0,289.

Resultados (desvio só de massa, raio fixo, 6.000 sorteios por ponto):

A resposta não é linear (χ² de constância = 21,2, g.l. 2, p < 10⁻⁴), então o que vale é o intercepto do ajuste ponderado g(δ₀) = g₀ + c·δ₀:

g₀ = −0,15295 ± 0,03002        c = −1,427

Comparação: referência de Fisher (Bernoulli condicional) q(1−q)·N/(N−1) = 0,25; referência de Wallenius (extração sequencial) ≈ 0,355. Medido: |g₀|/Fisher = 0,612 — mesma ordem de grandeza.

12.7 O bracket metrológico

Convertendo o desvio observado da bola 20 (z = +2,98 em 3.779 concursos) em assimetria de massa necessária, usando o g₀ medido:

E a inversão, que é mais forte. Se a aferição periódica garante δm/m ≤ 0,15%, reproduzir o desvio observado exigiria uma elasticidade tão alta que as bolas pesadas praticamente nunca sairiam — produzindo z de ±100, não de ±3.

Conclusão da seção. O sinal observado é simultaneamente grande demais para a tolerância metrológica declarada e pequeno demais para a sensibilidade que exigiria. É uma contradição interna que só se resolve com "o desvio não tem origem mecânica".

12.8 Números aleatórios comuns não sobrevivem ao caos

Predição pré-registrada, confirmada: a concordância entre pares (δ = 0, δ = +1%) com a mesma semente cai para 0,0433, contra 0,0400 esperado por acaso. CRN é inútil aqui — e o plano de contingência já era o caminho recomendado, então o resultado negativo não bloqueia nada.

12.9 Pré-registro

As seis predições desta seção foram escritas e hasheadas (da9145e8…) antes da primeira execução. Cinco confirmadas, uma refutada — a de linearidade. A refutação mudou o método (passamos a extrapolar para δ → 0) e não o texto da predição. O hash permanece o mesmo, e é isso que dá crédito às outras cinco.

13. Honestidade como invariante de tipo

Três camadas garantem que nenhuma estratégia possa afirmar vantagem de probabilidade. A segunda é a que efetivamente fecha:

1. Tipo. O campo afetaProbabilidadeDeGanhar tem o tipo literal false. Uma estratégia que tentasse declarar true não compila.
2. Estrutura. O método de seleção devolve apenas combinações — não devolve a justificativa. Quem calcula a probabilidade é o motor, a partir de (regras, dezenas) e de mais nada. A estratégia não tem acesso ao campo.
3. Teste. A probabilidade deve ser bit-idêntica entre todas as estratégias, para todo par (dezenas, jogo).

Um arquivo de provas de tipo entra na compilação e quebra o build com "Unused '@ts-expect-error' directive" no mesmo commit em que alguém afrouxar qualquer um dos dois tipos. Um teste unitário poderia ser removido junto com a regra que protege; uma diretiva não-usada, não.

Estratégias de "números quentes" e "números frios" permanecem no catálogo justamente para tornar a igualdade visível: as quatro exibem 1 em 9,4, dígito por dígito.

14. Resultados consolidados

14.1 O desvio existe

• Lotofácil: χ² corrigido 58,87 (g.l. 24), p ≈ 1,5 × 10⁻⁴, q = 0,0011 em 12 hipóteses. Sobrevive à multiplicidade.
• Quina: χ² corrigido 101,88 (g.l. 79), p = 0,0426, q = 0,51. Não sobrevive.

14.2 O desvio não é mecânico

Reproduzi-lo exigiria 6,6 g de diferença numa bola de 66 g — 66 vezes a resolução de uma balança de precisão, e detectável na primeira aferição de rotina.

14.3 O desvio não é demonstravelmente explorável

A estratégia de números frequentes acerta mais fora da amostra (z = +1,86) e os intervalos de confiança do retorno se sobrepõem aos da aleatória. Além disso, o retorno observado descreve 48,8% do retorno esperado, porque as faixas altas não ocorreram na janela.

14.4 O que é lícito afirmar

14.5 O que é ilícito afirmar

• Que qualquer estratégia aumenta a probabilidade de ganhar. Nenhuma pode.
• Que o próximo sorteio é previsível.
• Que física ou geolocalização carregam informação preditiva.
• Que fechamentos aumentam o retorno esperado.

15. Limitações

1. A hora do sorteio não está em nenhuma fonte. 20h é convenção, e todas as features solares e lunares herdam essa suposição.
2. 0,32% dos sorteios não têm local resolvido.
3. A massa e o diâmetro das bolas vêm de comunicado de imprensa, não do documento normativo. O simulador parametriza o mecanismo de mistura em três modos rotulados em vez de assumir um.
4. O mecanismo de mistura não é calibrado contra as estatísticas dos sorteios. É tentador e seria circular: ajustar um modelo físico até reproduzir um desvio que pode ser ruído, e depois apresentar o ajuste como evidência de que o desvio é físico.
5. A faixa estrita de calibração cobre 6 dos 14 testes. Os oito de nula por Monte Carlo levariam de 27 a 46 minutos cada; a lacuna é declarada e verificada por teste.
6. O backtest usa uma origem pré-registrada. Todas as outras janelas são sensibilidade e nenhuma contribui p-valor para a família de BH.
7. A generalização temporal do desvio é fraca. Os blocos disjuntos discordam no sinal, o que indica concentração numa janela — a leitura correta é ruído concentrado até prova em contrário.

16. Reprodutibilidade

Todo número deste artigo é reproduzido por um teste automatizado. O critério de aceite do projeto não é "gera apostas", e sim:

Todo número exibido pode ser rastreado até um teste que o reproduz.

• Toda aleatoriedade vem de um gerador semeado e serializável (xoshiro128**); não há uso de Math.random.
• Valores monetários são inteiros em centavos.
• Os artefatos de ingestão são byte-determinísticos: reexecutar sem forçar produz zero diferenças.
• Os goldens numéricos são versionados, e qualquer mudança neles exige justificativa no histórico.
• O registro de hipóteses e o pré-registro de predições físicas são congelados por hash SHA-256.

Referências

Estatística e inferência

1. Benjamini, Y. & Hochberg, Y. (1995). Controlling the False Discovery Rate: A Practical and Powerful Approach to Multiple Testing. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 57(1), 289–300.
2. Wilson, E. B. (1927). Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference. Journal of the American Statistical Association, 22(158), 209–212.
3. Agresti, A. & Coull, B. A. (1998). Approximate Is Better than "Exact" for Interval Estimation of Binomial Proportions. The American Statistician, 52(2), 119–126.
4. Efron, B. (1987). Better Bootstrap Confidence Intervals. Journal of the American Statistical Association, 82(397), 171–185.
5. Efron, B. & Tibshirani, R. J. (1993). An Introduction to the Bootstrap. Chapman & Hall.
6. Davison, A. C. & Hinkley, D. V. (1997). Bootstrap Methods and their Application. Cambridge University Press. (Estimador (r+1)/(B+1) do p-valor de Monte Carlo.)
7. Westfall, P. H. & Young, S. S. (1993). Resampling-Based Multiple Testing. Wiley. (Procedimento maxT.)
8. Cochran, W. G. (1954). Some Methods for Strengthening the Common χ² Tests. Biometrics, 10(4), 417–451. (Regra de esperado ≥ 5 por célula.)
9. Wedderburn, R. W. M. (1974). Quasi-likelihood Functions, Generalized Linear Models, and the Gauss–Newton Method. Biometrika, 61(3), 439–447.
10. McCullagh, P. & Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models, 2ª ed. Chapman & Hall.
11. Kolmogorov, A. N. (1933). Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione. Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari, 4, 83–91.
12. Smirnov, N. (1948). Table for Estimating the Goodness of Fit of Empirical Distributions. Annals of Mathematical Statistics, 19(2), 279–281.
13. Conover, W. J. (1999). Practical Nonparametric Statistics, 3ª ed. Wiley. (Conservadorismo do KS em distribuições discretas.)
14. Li, J. & Ji, L. (2005). Adjusting Multiple Testing in Multilocus Analyses Using the Eigenvalues of a Correlation Matrix. Heredity, 95, 221–227.
15. Fog, A. (2008). Sampling Methods for Wallenius' and Fisher's Noncentral Hypergeometric Distributions. Communications in Statistics — Simulation and Computation, 37(2), 241–257.
16. Wallenius, K. T. (1963). Biased Sampling: The Non-central Hypergeometric Probability Distribution. Tese de doutorado, Stanford University.

Modelos nulos e reamostragem com margens fixas

17. Connor, E. F. & Simberloff, D. (1979). The Assembly of Species Communities: Chance or Competition? Ecology, 60(6), 1132–1140.
18. Strona, G., Nappo, D., Boccacci, F., Fattorini, S. & San-Miguel-Ayanz, J. (2014). A Fast and Unbiased Procedure to Randomize Ecological Binary Matrices with Fixed Row and Column Totals. Nature Communications, 5, 4114. (Algoritmo curveball.)

Otimização combinatória e submodularidade

19. Nemhauser, G. L., Wolsey, L. A. & Fisher, M. L. (1978). An Analysis of Approximations for Maximizing Submodular Set Functions — I. Mathematical Programming, 14, 265–294.
20. Leskovec, J., Krause, A., Guestrin, C., Faloutsos, C., VanBriesen, J. & Glance, N. (2007). Cost-Effective Outbreak Detection in Networks. Proc. 13th ACM SIGKDD, 420–429. (CELF.)
21. Krause, A. & Golovin, D. (2014). Submodular Function Maximization. Em Tractability: Practical Approaches to Hard Problems. Cambridge University Press.
22. Schönheim, J. (1964). On Coverings. Pacific Journal of Mathematics, 14(4), 1405–1411.
23. Gordon, D. M., Kuperberg, G. & Patashnik, O. (1995). New Constructions for Covering Designs. Journal of Combinatorial Designs, 3(4), 269–284.
24. Knuth, D. E. (2011). The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1. Addison-Wesley. (Enumeração de subconjuntos por máscara de bits.)

Geodésia, atmosfera e efemérides

25. Moritz, H. (2000). Geodetic Reference System 1980. Journal of Geodesy, 74, 128–133. (Fórmula de Somigliana.)
26. National Imagery and Mapping Agency (2000). Department of Defense World Geodetic System 1984, NIMA TR8350.2, 3ª ed.
27. Tetens, O. (1930). Über einige meteorologische Begriffe. Zeitschrift für Geophysik, 6, 297–309.
28. Buck, A. L. (1981). New Equations for Computing Vapor Pressure and Enhancement Factor. Journal of Applied Meteorology, 20(12), 1527–1532.
29. Sutherland, W. (1893). The Viscosity of Gases and Molecular Force. Philosophical Magazine, 36(223), 507–531.
30. Meeus, J. (1998). Astronomical Algorithms, 2ª ed. Willmann-Bell.

Geração de números pseudoaleatórios

31. Blackman, D. & Vigna, S. (2021). Scrambled Linear Pseudorandom Number Generators. ACM Transactions on Mathematical Software, 47(4), 1–32. (Família xoshiro.)
32. Lemire, D. (2019). Fast Random Integer Generation in an Interval. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, 29(1), 1–12. (Eliminação do viés modular.)
33. Box, G. E. P. & Muller, M. E. (1958). A Note on the Generation of Random Normal Deviates. Annals of Mathematical Statistics, 29(2), 610–611.

Métodos numéricos

34. Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. & Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3ª ed. Cambridge University Press. (Função gama incompleta regularizada; ver a ressalva do Apêndice A sobre a recorrência de Clenshaw.)
35. Lanczos, C. (1964). A Precision Approximation of the Gamma Function. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1(1), 86–96.

Simulação e dinâmica

36. Baraff, D. (1997). An Introduction to Physically Based Modeling: Rigid Body Simulation. SIGGRAPH Course Notes. (Resolução de contatos por impulsos.)
37. Mirtich, B. (1996). Impulse-based Dynamic Simulation of Rigid Body Systems. Tese de doutorado, University of California, Berkeley.
38. Goldberg, D. (1991). What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM Computing Surveys, 23(1), 5–48. (Não-associatividade da soma.)

Acessibilidade

39. W3C (2018). Web Content Accessibility Guidelines (WCAG) 2.1. (Luminância relativa e razão de contraste.)

Fontes primárias

40. CAIXA Econômica Federal. Regras dos Sorteios das Loterias CAIXA. Disponível em caixa.gov.br/downloads/loterias-comunicados-importantes/.
41. CAIXA Econômica Federal. Portal de Loterias — API pública. servicebus2.caixa.gov.br/portaldeloterias/api/.
42. IANA. Time Zone Database (tzdb). iana.org/time-zones.
43. Open-Meteo. Geocoding and Historical Weather APIs. open-meteo.com.

Apêndice A — Nota sobre a implementação de erfc

A cauda da distribuição normal importa: o resultado central do estudo vive em p ≈ 10⁻⁴. Uma aproximação polinomial de Chebyshev perde precisão exatamente ali.

Uma armadilha específica merece registro. A fórmula de aproximação de erfc publicada em Numerical Recipes é uma recorrência de Clenshaw, não um esquema de Horner; implementá-la como Horner produz valores errados que passam despercebidos em testes centrais e falham na cauda. A implementação do estudo deriva erfc da função gama incompleta regularizada:

erfc(x) = Q(1/2, x²)     para x ≥ 0

verificada contra valores de referência até a 8ª casa decimal.

Apêndice B — Índice de verificações

Este documento acompanha o software Aferidor. Todas as medições citadas são reproduzíveis a partir do código-fonte e dos dados versionados.